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  s.假想存在一个圆柱面,把流场划分为内外区域,在每个区域上将速度势用特征函数展开,然后在它们的公共边界上进行匹配,匹配的原则是公共边界上速度连续,压力连续,从而可得到关于未知系数的一组线性代数方程组,解出未知系数,即可求得流域中任意一点的速度势和波高。

  3.The velocity potential in each region is expanded with

  是膜所占据的平面区域。使得问题有非平凡解(非零解)的参数

  平方可积时,展式平方平均收敛,且有帕舍伐尔公式:对膜振动问题的认识还是相当有限的。能够精确地知道特征值的,只限于矩形、圆盘等少数几种非常简单的区域。对椭圆和一般三角形的特征值精确值,还几乎毫无所知。其他情形就更谈不上了。将不超过

  的渐近式来刻画。这方面最早的结果是(C.H.)H.外尔在1911年得到的(外尔公式):式中表示Ω

  的面积。R.库朗将余项改进为。对于多角形区域,又有人将余项改进到。各种情况下改进余项估计的工作至今绵延不绝。外尔猜测有一个更强的结果:式中|嬠Ω

  )的外尔公式。第二渐近项与外尔猜想非常相象,但由此证不出外尔猜想。第三项迟至1966年才被M.卡茨导出,后来由H.P.麦基恩与I.M.辛格严格证明,其中h

  的洞数。特征值与膜振动频率有一个直接的换算关系,M.卡茨据此给MP公式一个非常生动的解释:可以听出鼓膜的面积Ω

  的欧拉-庞加莱示性数,是整体几何中颇受重视的一个不变量,听出鼓形或谱的几何问题立即引起人们的强烈兴趣,并导致一系列重要的研究。不过一般的特征值反问题,要求从特征值的谱完全恢复Ω

  )渐近式的方法,由T.卡莱曼于1934年首创,他还得到谱函数的渐近式:(

  时为0。上述关于拉普拉斯算子的结果,由L.戈尔丁和F.E.布劳德推广到 R

  的最高阶导数项相应的特征形式。特征展开定理亦由L.戈尔丁得出。对于奇异情形,例如薛定谔方程 的谱问题,可以证明存在谱函数S

  )一般不一定能写成前述特征函数双线和的形式。判定奇(异)微分算子谱的离散性是很有意义的工作。已经出现各种充分条件。不过关于特征值与特征函数渐近性质的研究,还只是限于少数特例。在处理‖x

  )→∞的情形,M.卡茨与D.雷等人曾创造了一种系统的概率方法,其中借助数学期望表出格林函数,有效地求出谱函数与特征值的渐近式: 。当算子A

  的系数不光滑,或非一致椭圆,或非自共轭,以及边条件带特征参数或带非定域项等等情形,都出现不少研究结果。还有人考察A

  都是椭圆算子。除上述问题外,特征展式的收敛性与求和法也一直受到人们的关注。

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